题解 SP1716 【GSS3 - Can you answer these queries III】

# 前言 首先说一下题意。就是每次给出 $x$ 和 $y$ 两个数，求 $x$ 到 $y$ 这个区间的最大子段和。 # 正文 ## 分析 首先我们看这个数据范围，我们显然是要用线段树来做这道题。 我们考虑如何 `pushup`。 ### `pushup` 的操作  #### 区间最大子段和 我们考虑一个区间的最大子段。 我们分 $3$ 种情况讨论： ##### 1. 有可能是左边部分的最大子段和  答案就是左边部分的最大子段和。 ##### 2. 也有可能右边部分的最大子段和  答案就是右边部分的最大子段和。 ##### 3. 最大最大和有可能跨越了中间  答案就是左边部分右端点往左的最大子段和 $+$ 左端点往右的最大子段和。 #### 发现 所以，我们需要对于所有节点，还要维护它们以左端点往右的最大子段和、右端点往左的最大子段和。 我们再考虑如何维护一个区间以左端点往右的最大子段和、右端点往左的最大子段和。 #### 以左端点往右的最大子段和 我们先考虑以左端点往右的最大子段和。 我们分 $2$ 种情况讨论： ##### 1. 不跨越中间  答案就是左部分的以左端点往右的最大子段和。 ##### 2. 跨越中间  答案就是左部分的和 $+$ 右部分以左端点往右的最大子段和。 #### 以右端点往左的最大子段和 我们先考虑以右端点往左的最大子段和。 我们分 $2$ 种情况讨论： ##### 1. 不跨越中间  答案就是右部分的以左端点往右的最大子段和。 ##### 2. 跨越中间  答案就是右部分的和 $+$ 左部分以右端点往左的最大子段和。 #### 发现 我们发现我们还需要维护区间和，这个问题很简单，不再讲解了。 所以我们现在总共要维护 $4$ 个东西。 分别是： $lans$、$rans$、$ans$、$sum$。 #### 边界情况——即整个区间是一个点 我们可以发现： $lans$、$rans$、$ans$、$sum$ 都为这个点的值。 #### 代码 ```cpp Tree pushup(Tree L,Tree R){ Tree z; z.sum=L.sum+R.sum;//和 z.l=max(L.l,L.sum+R.l);//2种情况 z.r=max(R.r,R.sum+L.r);//2种情况 z.ans=max(max(L.ans,R.ans),L.r+R.l);//3种情况 return z; } ``` 这里我写了一个带返回值的函数，就是为了下面方便啦。 ### 查询 上文已经讲解了最大子段和的 $3$ 中情况，已经知道最大子段和跟 $4$ 个东西有关。 所以我们要定义一个返回值为 $Tree$ 的函数。 那么现在，关键就在于合并区间，那么现在之前的`pushup`就可以被调用了。 ```cpp Tree query(int x,int y,int num,int l,int r){ if(x<=l&&r<=y)return t[num]; int mid=(l+r)>>1; if(y<=mid)return query(x,y,ls,l,mid);//右区间和查询区间没有交，答案当然在左区间 if(mid<x)return query(x,y,rs,mid+1,r);//左区间和查询区间没有交，答案当然在右区间 return pushup(query(x,mid,ls,l,mid),query(mid+1,y,rs,mid+1,r));//是不是很简洁？ } ``` ## 代码 我们已经把这道题的重点都搞清楚了，接下来就可以放代码了，至于单点修改不会的请自行去[学习](https://oi-wiki.org/ds/seg/)。 ```cpp #include <bits/stdc++.h> #define ls num<<1 #define rs num<<1|1 using namespace std; template<typename T>inline void read(T &FF){ T RR=1;FF=0;char CH=getchar(); for(;!isdigit(CH);CH=getchar())if(CH=='-')RR=-1; for(;isdigit(CH);CH=getchar())FF=(FF<<1)+(FF<<3)+(CH^48); FF*=RR; } template<typename T>void write(T x){ if(x<0)putchar('-'),x*=-1; if(x>9)write(x/10); putchar(x%10+48); } template<typename T>void writen(T x){ write(x); puts(""); } const int MAXN=5e4+10; struct Tree{ int sum,l,r,ans;//维护的4个量 }t[MAXN*4]; int a[MAXN],f,x,y; Tree pushup(Tree L,Tree R){ Tree z; z.sum=L.sum+R.sum;//和 z.l=max(L.l,L.sum+R.l);//2种情况 z.r=max(R.r,R.sum+L.r);//2种情况 z.ans=max(max(L.ans,R.ans),L.r+R.l);//3种情况 return z; } void build(int l,int r,int num){//建树 if(l==r){ t[num].sum=a[l]; t[num].l=a[l]; t[num].r=a[l]; t[num].ans=a[l];//边界初始化 return; } int mid=(l+r)>>1; build(l,mid,ls); build(mid+1,r,rs); t[num]=pushup(t[ls],t[rs]);//pushup } void change(int l,int r,int num){//单点修改 if(l==r){ t[num].sum=y; t[num].l=y; t[num].r=y; t[num].ans=y;//边界初始化 return; } int mid=(l+r)>>1; if(x<=mid)change(l,mid,ls); else change(mid+1,r,rs); t[num]=pushup(t[ls],t[rs]); } Tree query(int x,int y,int num,int l,int r){ if(x<=l&&r<=y)return t[num]; int mid=(l+r)>>1; if(y<=mid)return query(x,y,ls,l,mid);//右区间和查询区间没有交，答案当然在左区间 if(mid<x)return query(x,y,rs,mid+1,r);//左区间和查询区间没有交，答案当然在右区间 return pushup(query(x,mid,ls,l,mid),query(mid+1,y,rs,mid+1,r));//是不是很简洁？ } int main(){ int n,T; read(n); for(int i=1;i<=n;i++)read(a[i]); build(1,n,1); read(T); while(T--){ read(f);read(x);read(y); if(f==0)change(1,n,1); else writen(query(x,y,1,1,n).ans); } return 0; } ```