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一只叫ZHK的蒟蒻为了RP而战

题解 P2642 【双子序列最大和】

posted on 2019-08-28 15:32:45 | under 题解 |

前言

其实这道题的关键就是在于预处理,其方法类似于 合唱队形

正文

求最大子段和

要想求出双子序列最大和,首先我们要会求出最大子段和

最大子段和的求值方法很简单

定义 $f_i$ 为以第 $i$ 个数结尾的最大子段和

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int f[1000010],a[1000010];
int main(){
    int n;
    cin>>n;
    for(int i=1;i<=n;i++)cin>>a[i];
    f[1]=a[1];
    for(int i=2;i<=n;i++)f[i]=max(f[i-1]+a[i],a[i]);
    int ans=f[1];
    for(int i=2;i<=n;i++)ans=max(ans,f[i]);
    cout<<ans;
    return 0;
}

求双子序列最大和

那么我们现在可以去求双子序列最大和

怎么求,思路是 如果你去枚举中间的数,然后去算左边的最大子段,再算出右边的最大子段,加起来,用打擂法,求出最大值,你会 $TLE$ ,毕竟 $n<=10^{6}$

那怎么办?我们可以预处理

我们可以用 $O(n)$ 的时间计算到前 $1$ 个数的最大子段,

我们可以用 $O(n)$ 的时间计算到后 $i$ 个数的最大子段

像这样

cin>>n;
for(int i=1;i<=n;i++)cin>>x[i];
f[1]=x[1];
for(int i=2;i<=n;i++)f[i]=max(f[i-1]+x[i],x[i]);//算最大子段
for(int i=2;i<=n;i++)f[i]=max(f[i-1],f[i]);//更新成最大值
l[n]=x[n];
for(int i=n-1;i>=1;i--)l[i]=max(l[i+1]+x[i],x[i]);//算最大子段
for(int i=n-1;i>=1;i--)l[i]=max(l[i+1],l[i]);//更新成最大值

这里 $f_i$ 表示前 $i$ 个数中的最大字段和

这里 $l_i$ 表示后 $i$ 个数中的最大字段和

然后,用 $O(n)$ 的时间去枚举中间的数,打擂法求出双子序列最大和

上代码:

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
long long x[1000010],f[1000010],l[1000010];
int main(){
    int n;
    cin>>n;
    for(int i=1;i<=n;i++)cin>>x[i];
    f[1]=x[1];
    for(int i=2;i<=n;i++)f[i]=max(f[i-1]+x[i],x[i]);//算最大子段
    for(int i=2;i<=n;i++)f[i]=max(f[i-1],f[i]);//算最大子段
    l[n]=x[n];
    for(int i=n-1;i>=1;i--)l[i]=max(l[i+1]+x[i],x[i]);//算最大子段
    for(int i=n-1;i>=1;i--)l[i]=max(l[i+1],l[i]);//算最大子段
    long long ans=f[1]+l[3];
    for(int i=3;i<n;i++)ans=max(ans,f[i-1]+l[i+1]);//枚举中间数
    cout<<ans;
    return 0;
}

后记

这种预处理的方法可以优化我们的时间复杂度,避免重复计算,使我们的程序跑得更快!