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一只叫ZHK的蒟蒻为了RP而战

题解 P1002 【过河卒】

posted on 2019-01-30 14:40:11 | under 题解 |

正文

简单描述一下题意:

士兵想要过河,他每一次可以往下走一格,也可以往右走一格,但马一步走到的地方是不能走的,问走到 $n$ 行, $m$ 列有多少种走法

我们显然应该先根据马的位置将不能走的格子做一下标记

于是,就会写下这段代码:

void work(long long x,long long y){
    ma[x][y]=1;
    ma[x-1][y-2]=1;
    ma[x-2][y-1]=1;
    ma[x-2][y+1]=1;
    ma[x-1][y+2]=1;
    ma[x+1][y-2]=1;
    ma[x+2][y-1]=1;
    ma[x+2][y+1]=1;
    ma[x+1][y+2]=1;
}

之后就可以使用奥数中的一种简单而常用的方法——标数法

可以举个例子

123.png

从这个表格的第一行第一列,走到第二行第二列的走法数量是由走到第一行第二列的方案数+第二行第一列的方案数

也就是走到x行,y列的方案数=走到x-1行,y列的方案数+走到x行,y-1列的方案数(出界就按0算)

也就是 $$f[i][j]=f[i-1][j]+f[i][j-1]$$

因为走到 $x$ 行 $y$ 列的方案显然是来自于它的左边和它的上面,因为只有这两个格子才可以一步到达这个格子。

于是我们就可以开始递推:

for(int i=1;i<=n;i++){
    for(int j=1;j<=m;j++){
        if(i==1&&j==1)continue;
        if(ma[i][j]==0)x[i][j]=x[i-1][j]+x[i][j-1];
    }
}

下面是我AC的代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
long long a,b,n,m,x[23][23],ma[23][23];
void work(long long x,long long y){
    ma[x][y]=1;
    ma[x-1][y-2]=1;
    ma[x-2][y-1]=1;
    ma[x-2][y+1]=1;
    ma[x-1][y+2]=1;
    ma[x+1][y-2]=1;
    ma[x+2][y-1]=1;
    ma[x+2][y+1]=1;
    ma[x+1][y+2]=1;
}
int main(){
    scanf("%lld %lld %lld %lld",&n,&m,&a,&b);
    a++;
    b++;
    n++;
    m++;
    work(a,b);
    x[1][1]=1;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        for(int j=1;j<=m;j++){
            if(i==1&&j==1)continue;
            if(ma[i][j]==0)x[i][j]=x[i-1][j]+x[i][j-1];
        }
    }
    printf("%lld",x[n][m]);
    return 0;
}

后记与补充

123.png

观看这张图,我们还可以发现其他的东西,我们能发现下面一行比上一行大的值,就是它左边格子的值,所以,我们可以将这道题优化成一维,代码实现也是很简单的。

$$f[i]+=f[i-1]$$

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
long long a,b,n,m,f[23],ma[23][23];
void work(long long x,long long y){
    ma[x][y]=1;
    ma[x-1][y-2]=1;
    ma[x-2][y-1]=1;
    ma[x-2][y+1]=1;
    ma[x-1][y+2]=1;
    ma[x+1][y-2]=1;
    ma[x+2][y-1]=1;
    ma[x+2][y+1]=1;
    ma[x+1][y+2]=1;
}
int main(){
    scanf("%lld %lld %lld %lld",&n,&m,&a,&b);
    a++;
    b++;
    n++;
    m++;
    work(a,b);
    x[1][1]=1;
    for(int i=1;i<=n;i++)
        for(int j=1;j<=m;j++){
            if(i==1&&j==1)continue;
            if(ma[i][j]==0)f[j]+=f[j-1];
        }
    printf("%lld",f[m]);
    return 0;
}

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